A EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS
O conhecimento dos números foi fundamental na evolução da História do Homem. Desde as épocas mais remotas, têm chegado até nós vestígios que provam a sua importância. Hoje, os números estão presentes em qualquer atividade do Homem, desde a mais simples até à mais complexa.
Contar terá sido a primeira “atividade” matemática da Humanidade. À medida que o Homem evoluiu, a Matemática foi sendo necessária: ... ao descobrir o fogo começou a caçar e a desenhar o que sucedia nas paredes das cavernas; aparecem desenhos de animais e traços a indicar contagens (cada traço representa uma coisa. animal, seta, ...).
Quando se tornou sedentário, tornou-se Pastor e foi preciso controlar o número de animais que pastoreava (fazia traços no caiado ou usava pedras - cada traço ou pedra representava um animal), para que no regresso nenhum ficasse perdido. É natural que tenha começado a usar os dedos para contar.
Ainda agora, se perguntarmos a idade de uma criança de um ou dois anos, ela mostra-nos os dedos com o número de anos correspondentes, em vez de usar o numeral. E os dedos dos pés também podem servir para contar.
Se analisarmos por um instante as mil e uma atividades, importantes ou não, que diariamente iniciamos ou concluímos, percebemo-nos de que tudo, ou quase tudo, está associado à ciência dos números, a cálculos matemáticos. Por outro lado, todas as coisas úteis que nos rodeiam, desde a cama em que dormimos até à casa na qual moramos, às roupas que trazemos vestidas; da escova de dentes à pasta dentífrico; do automóvel ou autocarro que nos transportam até à ponte que atravessa a estrada; desde o comboio ao carro elétrico, ao avião, ao míssil; todas as coisas, todos os elementos utilitários da época moderna são fruto dos conhecimentos científicos e das utilizações tecnológicas descobertas pela inteligência do homem. Em última análise, pode dizer-se que todas as nossas ações são condicionadas pelos números, pelas medidas e suas relações recíprocas. A máquina que faz as nossas meias e aquela que, antes delas, produziu o material com que se fabricam, são o resultado de cálculos matemáticos precisos. O mesmo se pode dizer da cadeira ou da mesa, do copo em que bebemos ou da garrafa que contém um líquido, do medicamento que nos ajuda a restabelecer a saúde em caso de qualquer doença.
Em suma: na vida do Homem não existe nada que não esteja de qualquer modo associado, ainda que de forma não evidente, aos números e ao seu conhecimento.
Quando dizemos dois, cinco, dezesseis, ou cem, não nos referimos a nada de concreto: dentro de todos estes números podemos "inserir" aquilo que quisermos, tantas maçãs ou tantas uvas, automóveis ou comboios, homens ou mulheres. Neste caso, o número (abstração matemática) adquire o significado físico que lhe quisermos dar.
É assim que certas operações nem sequer são imagináveis. Por exemplo: quem poderia pensar em multiplicar quatro deputados por seis ovos e dividir o resultado por três copos? No entanto, tais operações pareceram óbvias e absolutamente normais no caso de considerarmos os números só por si, isto é, sem qualquer relação com a realidade.
Por outras palavras: para o homem é perfeitamente natural a distinção entre a “verdade abstrata” contida nos números (e em tudo aquilo que a matemática representa) e a realidade concreta, dos objetos que nos circundam, como a de nós próprios. Mas quando é que o Homem começou a fazer tal distinção? Ou melhor: como surgiu na mente do Homem a ideia de número e como conseguiu descobrir toda a espantosa série, por vezes simples, outras difíceis e complexas, dos processos matemáticos? Procurar as origens da matemática significa ir até aos primórdios da história humana e voltar a percorrer as etapas do desenvolvimento da inteligência desse “mamífero de duas patas” a cuja espécie pertencemos.
Os povos da Antiguidade utilizaram diferentes símbolos para representar os números e cada sistema de numeração tinha as suas regras. Entre eles distinguem-se:
os Chineses
os Egípcios
os Babilónios
os Romanos
os Hindus
os Maias
os Gregos
OS CHINESES
Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em folhas com tinta preta. Nos símbolos seguintes a unidade é representada por um traço horizontal e a dezena por um traço vertical.
Atualmente, o sistema decimal dos Chineses é compreendido por treze sinais fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000). Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comumente empregado em nossos dias é este:
Os números 2, 3 e 4, por sua vez, são figurados pela repetição proporcional de traços horizontais, mas esta velha representação ideográfica das unidades desaparece a partir de 5. Com efeito, como todos os povos que usaram uma tal notação numérica, os Chineses marcaram igualmente um tempo de parada para 4; raros são os homens capazes de reconhecer ao primeiro olhar e, portanto, sem contar, uma sequência de mais quatro elementos alinhados. Contudo, em vez de prosseguir essa figuração primitiva, os Chineses preferiram introduzir, para as cinco unidades seguintes, cinco sinais particulares aparentemente despojados de qualquer intuição sensível.
OS EGÍPCIOS
Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de numeração escrita. Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer influência estrangeira. "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos tirados da fauna e da flora nilótica, O que prova que a escrita foi desenvolvida no local, mas ainda instrumentos e utensílios que figuram nela eram empregados no Egito desde o eneolítico antigo (inicio do IV milênio a.C.), o que é a prova de que a escrita (hieroglífica) é certamente o produto da civilização egípcia apenas e que ela nasceu nas margens do Nilo." (J. Vercoutter)
A origem do algarismo 1 foi "natural": a barra é o sinal gráfico mais elementar que o ser humano possa imaginar para a representação da unidade.
A dezena constituiu o desenho de um cordão que, outrora, deve ter servido para unir os bastonetes num pacote de dez unidades.
Os inventores dos algarismos 100 e 1000 recorreram a "empréstimos fonéticos", isto porque, originalmente, as palavras egípcias para dizer "espiral" e "flor do lótus" correspondiam respectivamente aos mesmos sons que "cem" e "mil".
O hieróglifo de dez milhares constituiu uma sobrevivência da contagem manual que permitia contar até 9999, graças a diversas posições dos dedos.
O algarismo para cem milhares tem a sua origem puramente simbólica, oriunda da "saparia" de girinos no Nilo e na grande fecundidade primaveril desses batráquios.
O hieróglifo que designa o valor do milhão possuía o sentido do "milhão de anos" ou da "eternidade" e representava aos olhos dos egípcios um genio sustentando a abóbada celeste.
A numeração escrita egípcia foi fundada numa base rigorosamente decimal.
Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de numerais, sem usar hieróglifos, que registavam da direita para a esquerda.
Os egípcios reproduziram os seus algarismos e os seus hieróglifos gravando-os ou esculpindo-os mediante o cinzel e o martelo em monumentos de pedra, ou ainda mediante um caniço com planta achatada, molhado numa matéria colorida, traçando-os em pedaços de rocha, cacos de cerâmica ou na fibra frágil de folhas de papiro.
OS BABILÔNIOS
Os Babilônios foram um povo da Antiguidade que viveu no Médio Oriente. Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.
Os símbolos que usavam eram os seguintes:
Tinham um símbolo diferente para a unidade e para a dezena e o número 60 escrevia-se exatamente como o 1, o que para nós é muito confuso. Por exemplo, 61 escreve-se como 2. Pensa-se que os Babilônios sabiam distinguir o número a que se referiam de acordo com o contexto do problema.
Escritos Babilônicos provam que já esta civilização possuía grandes conhecimentos matemáticos. Neles aparecem uma série de notações contáveis no sistema de numeração sexagesimal.
No relógio do parlamento britânico, o Big Ben, há gravadas 12 divisões de 1 hora e 60 divisões de 1 minuto. 
O uso do número 60 como base para contar e dos seus divisores (como a dúzia: 12 = 60/5) era utilizado pelos babilônios há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos e também pelos sacerdotes nos seus cálculos astronômicos e de quem dependia a contagem do tempo.
OS ROMANOS
Os romanos usaram o alfabeto para representar números. Ainda hoje a numeração romana é conhecida e até usada.
I II III IV V VI VII VIII IX X L C D M
Apesar destes numerais serem suficientes para escrever qualquer número sem confusões, acontecia haver números com um numeral muito grande (por exemplo, 5878 = MMMMMDCCCLXXVIII). As multiplicações e divisões eram praticamente impossíveis.
Na verdade, os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para efetuar operações aritméticas, mas abreviações destinadas a notificar e reter os números. E é por isso que os contadores Romanos (e os calculadores Europeus da Idade Média depois deles) sempre apelaram para Ábacos de Fichas para efetuar cálculos.
Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da adição: os seus algarismos
(I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 e M=1000) eram independentes uns dos outros. A sua justaposição implicava geralmente na soma dos valores correspondentes:
(I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 e M=1000) eram independentes uns dos outros. A sua justaposição implicava geralmente na soma dos valores correspondentes:
CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187
MDCXXVI = 1000 + 500 + 100 + 10 + 10 + 5 + 1 = 1626.
Os Romanos, contudo, complicaram o sistema introduzindo nele a regra segundo a qual qualquer sinal numérico colocado à esquerda de um algarismo de valor superior diminui-se dele. E assim os números 4, 9, 40, 400, por exemplo, foram frequentemente escritos sob as formas seguintes:
IV = 5 – 1 IX = 10 – 1 XL = 50 – 10
CD = 500 - 100
Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos, atingiu um nível técnico muito alto, e conservou assim, curiosamente, durante toda a sua existência, um sistema inutilmente complicado e não operatório, o que denota um arcaísmo no pensamento.
OS HINDÚS
Foi há cerca de 2000 anos que os Hindus (no Norte da índia) começaram a usar símbolos numéricos que deram origem aos numerais agora usados por nós.
Na primeira linha da imagem, numerais de há 1000 anos. Na segunda, há 800 anos. Na terceira, há 600 anos. Na última, numeração atual.
Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus terão usado esses sinais numéricos, que os árabes adaptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa.
Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito. Efetuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo para designar o zero. Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7, ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao “nada” das dezenas.
Só há cerca de 800 anos é que os Hindus, além dos símbolos dos números, tiveram também o mérito genial de inventar o zero. Vários antropólogos procuraram explicar como pode ter surgido esta ideia do nada, tão importante para a Matemática.
Uma das explicações mais interessantes parece ser a que liga o conceito do zero à ideia de "nada", bem expressa no misticismo religioso Hindu pelo chamado Nirvana.
OS MAIAS
Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da América Central, algumas dezenas de cidades mortas ilustram um dos mais misteriosos episódios da História. "Nos seus templos imponentes, erguidos no cume de pirâmides que atingiam por vezes uma altura de cinquenta metros, eram realizadas cerimônias rituais, inclusive as iniciáticas, cujos indícios nos transmitiram alguns enigmáticos baixos-relevos. As estruturas arquitectónicas dessas cidades esquecidas, as estejas e os altares de pedra magnificamente esculpidos, as cerâmicas policromadas, os misteriosos sinais hieroglíficos gravados nos monumentos são as testemunhas do mais alto grau de civilização de seus autores" (P. Ivanoff).
Essas cidades que, no momento de sua glória, constituíram certamente as capitais de Estados independentes governados por algumas autoridades religiosas, foram outrora ocupadas pelos representantes de um fundo cultural comum, que tinha nascido provavelmente na floresta do Peten e regiões vizinhas, e que os historiadores e arqueólogos designam pelo nome de Civilização Maia.
Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena e as potências de vinte. A razão, como se sabe, é devida ao hábito que os seus ancestrais tinham de contar não apenas com os dez dedos, mas também com os seus pés.
A numeração do povo Maia fundou-se no princípio da adição. Devia associar um círculo ou um ponto à unidade (sinal comum a todos os povos da América Central, originado do grão de cacau, então empregado como "moeda de troca").
A numeração dos Maias dificilmente deveria prestar-se à prática das operações aritméticas e o sistema devia servir apenas para consignar os resultados de cálculos já efetuados. Este povo deveria fazer os seus cálculos através de um instrumento operatório análogo aos ábacos do Velho Mundo.
A numeração Maia escrita não foi concebida para responder às necessidades do cálculo corrente, que dizia a respeito apenas aos comerciantes e ao uso comum dos mortais. Foi elaborada, ao contrário, apenas para satisfazer as necessidades do cômputo do tempo e das observações, em razão da ligação estreita que existia, nessa civilização, entre o fluir do tempo e o mundo divino.
Mil anos de cultura Matemática Hindu chegaram até nós através de um livro lendário, Lilavati, de Bhaskara. A figura representa fragmentos do manuscrito, Bakshali, um dos mais antigos exemplares de textos Matemáticos Hindus.
A "ciencia Maia é foi cultivada no altos dos santuários" Os sacerdotes, via de regra, tornavam-se astrónomos. Se os Maias tinham conseguido conceber um dos melhores calendários da história e realizar verdadeiras proezas em astronomia, tinham, por outro lado, sido escravos do seu misticismo e da sua religião. E, tal como os outros povos da Meso América pré-colombiana, "sentiram-se imensamente fascinados pelos mistérios do Cosmos: o retorno cíclico e previsível dos fenómenos celestes; o ritmo incessante das estações e a influência destas últimas nas diversas fases da cultura do milho; o próprio ciclo da vida e da morte, do dia e da noite em sua alternância inexorável, mas necessária, etc." (P. Gendrop).
Para os Maias, explica C. Galienkamp, "o tempo jamais foi um meio puramente abstracto de ordenar os acontecimentos numa sucessão metódica: aparecia-lhes logo como um fenómeno sobrenatural portador de forças todas poderosas de criação e de destruição, e cujos aspectos eram directamente influenciados pelos deuses aos quais eram atribuídas, segundo o caso, intenções benéficas ou malévolas. Essas divindades eram associadas a números determinados e tomavam formas que permitiam representá-las em hieróglifos. Cada divisão do calendário Maia - dias, meses, anos ou períodos mais longos - era concebida como "fardos"', que eram transportados sobre as costas desses divinos guardiães do templo. No fim de cada ciclo, o tempo vindouro era assumido pelo deus ao qual o calendário atribuía o número seguinte. Se o fardo de um ciclo estava sob a responsabilidade de uma divindade maléfica, podia-se esperar as mais graves consequências, até que o nume fosse substituído por um carregador benevolente. Tal mês ou tal ano fazia, portanto, esperar ou temer felicidade ou desgraça, segundo o temperamento dos deuses que os transportavam. Era uma crença curiosa, e explica, em parte, o poder extremo do clero sobre um povo imbuído pela ideia de que era impossível sobreviver sem sábios mediadores capazes de interpretar as tendências irascíveis dos deuses.
Somente os sacerdotes astrónomos podiam interpor-se entre o curso normal da vida e as catástrofes provocadas por um desprezo pelos sentimentos dos deuses. Após ter reconhecido os atributos dos deuses e traçado suas corridas incessantes sobre as rotas do tempo e do espaço, somente eles podiam identificar os períodos carregados por deuses favoráveis (... ), ou, como era mais frequente, aqueles em que o número de divindades benevolentes excedia o das divindades contrárias. Essa obsessão resgatava-os da sorte ou da malevolência, posto que tinham esperança e que, uma vez advertidos das perspectivas do futuro, pudessem dar aos acontecimentos um curso propício."
OS GREGOS
A numeração Grega funda-se no principio da adição e atribui um sinal gráfico particular a cada um dos números: 1 5 10 100 500
1000 5000 10000 50000
Este sistema, que na verdade só serviu para notar os números cardinais, foiempregado em metrologia (pesos, medidas, etc.) e na expressão das somas monetárias.
Para efetuar as operações aritméticas, os Gregos, fizeram, uso não dos seus algarismos, mas de ábacos.
É a esse tipo de instrumento de cálculo que aludiu o historiador grego Políbio pondo estas palavras na boca de Sólon: “Os que vivem na corte dos reis são exatamente como as peças de uma mesa de contar. É a vontade do calculador que lhes fez valer um Khalkos ou um talento” (História Natural, V, 26). o talento e o Khalkos eram, respectivamente, a mais forte e a mais fraca das unidades monetárias da Grécia antiga e estas eram simbolizadas pelas colunas extremas do ábaco de peças.
A figura seguinte representa o princípio do ábaco grego de Salamina, no qual, se vê a soma de “17 talentos, 1173 dracmas, 3 óbulos, 1 semi-óbulo, 1 quarto de óbolo e 1 Khalkos”.
